Pembinaan Olimpiade Matematika

NILAI MUTLAK

E. Persamaan Nilai Mutlak

Nilai mutlak dari $ x $ ditulis dengan $ |x| $ dan memiliki pengertian:

\[ |x| = x \text{ jika } x \geq 0 \]

\[ |x| = -x \text{ jika } x < 0 \]

Jika persamaan hanya memuat satu tanda mutlak, penyelesaian dapat dilakukan dengan menggunakan pengertian nilai mutlak atau dengan mengkuadratkan tanda mutlak.

Sifat-sifat Nilai Mutlak

$ |x| \geq 0 $ untuk semua $ x \in \mathbb{R} $
$ |x| = 0 $ jika dan hanya jika $ x = 0 $
$ |xy| = |x||y| $
$ \left| \dfrac{x}{y} \right| = \dfrac{|x|}{|y|} $ untuk $ y \neq 0 $
$ |x + y| \leq |x| + |y| $ (Ketaksamaan Segitiga)
$ |x - y| \geq \left| |x| - |y| \right| $

Contoh 67: Persamaan dengan Satu Nilai Mutlak

Selesaikan persamaan $ |x - 2| = 8 $

Solusi:

Alternatif 1: Menggunakan Pengertian Nilai Mutlak

Jika $ x \geq 2 $ maka $ x - 2 = 8 $ sehingga $ x = 10 $ (memenuhi)

Jika $ x < 2 $ maka $ 2 - x = 8 $ sehingga $ x = -6 $ (memenuhi)

Jadi, penyelesaiannya adalah $ x = -6 $ atau $ x = 10 $

Alternatif 2: Mengkuadratkan Kedua Ruas

$ |x - 2| = 8 $

$ (x - 2)^2 = 64 $

$ x^2 - 4x + 4 = 64 $

$ x^2 - 4x - 60 = 0 $

$ (x - 10)(x + 6) = 0 $

$ x = 10 $ atau $ x = -6 $

Persamaan dengan Lebih dari Satu Nilai Mutlak

Persoalan menjadi lebih rumit apabila dalam persamaan tersebut memuat lebih dari satu tanda mutlak. Penyelesaiannya dapat dilakukan dengan membagi kasus berdasarkan interval nilai $ x $.

Strategi Penyelesaian:

Tentukan titik-titik kritis (nilai $ x $ yang membuat ekspresi dalam nilai mutlak sama dengan nol)
Buat interval berdasarkan titik-titik kritis tersebut
Selesaikan persamaan pada setiap interval
Periksa apakah solusi yang diperoleh memenuhi syarat interval

Contoh 68: (OSP 2003)

Tentukan himpunan jawab dari persamaan $ |x + 2| + |3x| = 14 $

Solusi:

Titik kritis: $ x = -2 $ dan $ x = 0 $

Kasus 1: $ x \leq -2 $

$ |x + 2| = -x - 2 $, $ |3x| = -3x $

$ (-x - 2) + (-3x) = 14 \Rightarrow -4x - 2 = 14 \Rightarrow x = -4 $

Memenuhi syarat $ x \leq -2 $

Kasus 2: $ -2 \leq x \leq 0 $

$ |x + 2| = x + 2 $, $ |3x| = -3x $

$ (x + 2) + (-3x) = 14 \Rightarrow -2x + 2 = 14 \Rightarrow x = -6 $

Tidak memenuhi syarat $ -2 \leq x \leq 0 $

Kasus 3: $ x \geq 0 $

$ |x + 2| = x + 2 $, $ |3x| = 3x $

$ (x + 2) + (3x) = 14 \Rightarrow 4x + 2 = 14 \Rightarrow x = 3 $

Memenuhi syarat $ x \geq 0 $

Jadi, himpunan jawabnya adalah $ \{-4, 3\} $

LATIHAN 5.E

(OSK 2005) Tentukan semua solusi persamaan $ |x - 1| + |x - 4| = 2 $.
(AIME 1983) Tentukan nilai minimum dari $ |x - p| + |x - 15| + |x - p - 15| $ untuk suatu nilai $ x $ dalam batas $ p \leq x \leq 15 $ dimana $ 0 < p < 15 $.
Banyaknya bilangan bulat berbeda $ y $ yang memenuhi $ |x - 7| - |x + 11| = y $ adalah ...
(OSP 2006) Diberikan fungsi $ f(x) = \left| |x - 2| - a \right| - 3 $. Jika grafik $ f $ memotong sumbu-$ x $ tepat di tiga titik, maka $ a = $ ...
(OSP 2006) Jika $ |x| + x + y = 10 $ dan $ x + |y| - y = 12 $, maka $ x + y = $ ...
(AHSME 1997) Ada berapa banyak tripel bilangan bulat $ (a, b, c) $ yang memenuhi $ |a + b| + c = 19 $ dan $ ab + |c| = 97 $
(AHSME 1977) Untuk $ a, b, c $ bilangan real taknol, semua kemungkinan nilai dari $ \dfrac{a}{|a|} + \dfrac{b}{|b|} + \dfrac{c}{|c|} + \dfrac{abc}{|abc|} $ adalah ...
(AHSME 1999) Grafik $ y = -|x - a| + b $ dan $ y = |x - c| + d $ berpotongan di titik $ (2, 5) $ dan $ (8, 3) $. Nilai $ a + c $ adalah ...
(AIME 1988) $ x_1 $ adalah bilangan real yang memenuhi $ -1 < x_1 < 1 $ dan $ |x_1| + |x_2| + \cdots + |x_n| = 19 + |x_1 + x_2 + \cdots + x_n| $. Tentukan nilai terkecil $ n $ yang memenuhi.
(AIME 2001) Fungsi $ f(x) $ memenuhi persamaan $ f(x) = 3f(x-1) $ untuk semua bilangan real $ x $ dan $ f(x) = 1 - |x - 2| $ untuk $ 1 \leq x \leq 3 $. Tentukan bilangan positif $ x $ terkecil yang memenuhi $ f(x) = f(2001) $.