KETAKSAMAAN

Pembinaan Olimpiade Matematika

7. KETAKSAMAAN

A. Konsep Urutan dan Sifat-sifat Dasar

Sifat penting pada bilangan-bilangan real adalah adanya urutan sehingga dapat membandingkan dua bilangan sehingga didapat apakah kedua bilangan tersebut sama atau tidak sama.

Sifat-sifat Konsep Urutan pada Sistem Bilangan Real:

  1. Setiap bilangan real a hanya memenuhi satu dan hanya satu dari kemungkinan:
    • \( a = 0 \)
    • \( a > 0 \)
    • \( a < 0 \)
  2. Setiap bilangan real a dan b hanya memenuhi satu dan hanya satu dari kemungkinan:
    • \( a = b \)
    • \( a > b \)
    • \( a < b \)
  3. Jika \( a > 0 \) dan \( b > 0 \) maka \( a + b > 0 \)
  4. Jika \( a > 0 \) dan \( b > 0 \) atau \( a < 0 \) dan \( b < 0 \) maka \( ab > 0 \)
  5. Jika \( a < b \) dan \( b < c \) maka \( a < c \)
  6. Jika \( a < b \) maka \( a \pm c < b \pm c \) untuk setiap bilangan real c
  7. Jika \( a < b \) dan \( c < d \) maka \( a + c < b + d \)
  8. Jika \( a < b \) dan \( c > 0 \) maka \( ac < bc \)
  9. Jika \( a < b \) dan \( c < 0 \) maka \( ac > bc \)
  10. Jika \( a > 0 \) maka \( \dfrac{1}{a} > 0 \)
  11. Jika \( a > 0 \) dan \( b > 0 \) maka \( \dfrac{a}{b} > 0 \)
  12. Jika \( 0 < a < b \) atau \( a < b < 0 \) maka \( \dfrac{1}{b} < \dfrac{1}{a} \)
  13. Jika \( a > 0 \) dan \( b > 0 \) serta \( a^2 > b^2 \) maka \( a > b \)

Catatan: Sifat-sifat tersebut juga berlaku jika tanda < diganti dengan tanda ≤ kecuali untuk sifat (12) yang mensyaratkan bahwa a dan b keduanya tak nol.

Contoh 78:

Buktikan bahwa jika a, b, c dan d adalah bilangan positif yang memenuhi \( \dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d} \) maka \( \dfrac{a}{b} < \dfrac{a+c}{b+d} < \dfrac{c}{d} \).

Solusi:

Alternatif 1:

Karena bd positif serta \( \dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d} \) maka:

\( ad < bc \) ...... (sifat 7)

\( ad + ab < bc + ab \) ...... (sifat 6)

\( a(b + d) < b(a + c) \)

Karena b(b + d) positif maka:

\( \dfrac{a}{b} < \dfrac{a+c}{b+d} \) ...... (sifat 7) ...... (1)

Karena bd positif serta \( \dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d} \) maka:

\( ad < bc \) ...... (sifat 7)

\( ad + cd < bc + cd \) ...... (sifat 6)

\( d(a + c) < c(b + d) \)

Karena d(b + d) positif maka:

\( \dfrac{a+c}{b+d} < \dfrac{c}{d} \) ...... (sifat 7) ...... (2)

Dari persamaan (1) dan (2) didapat:

\( \dfrac{a}{b} < \dfrac{a+c}{b+d} < \dfrac{c}{d} \) (terbukti)

Alternatif 2:

Karena \( \dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d} \) maka \( bc > ad \)

\( \dfrac{a+c}{b+d} - \dfrac{a}{b} = \dfrac{bc-ad}{b(b+d)} \)

Karena bc > ad sedangkan b dan (b + d) positif maka:

\( \dfrac{a+c}{b+d} - \dfrac{a}{b} = \dfrac{bc-ad}{b(b+d)} > 0 \)

Jadi, \( \dfrac{a+c}{b+d} > \dfrac{a}{b} \) ...... (3)

\( \dfrac{c}{d} - \dfrac{a+c}{b+d} = \dfrac{bc-ad}{d(b+d)} \)

Karena bc > ad sedangkan d dan (b + d) positif maka:

\( \dfrac{c}{d} - \dfrac{a+c}{b+d} = \dfrac{bc-ad}{d(b+d)} > 0 \)

Jadi, \( \dfrac{c}{d} > \dfrac{a+c}{b+d} \) ...... (4)

Dari persamaan (3) dan (4) didapat:

\( \dfrac{a}{b} < \dfrac{a+c}{b+d} < \dfrac{c}{d} \) (terbukti)

Contoh 79:

Jika \( a \geq b \) dan \( x \leq y \) maka buktikan bahwa \( \dfrac{ax+by}{2} \leq \dfrac{a+b}{2} \cdot \dfrac{x+y}{2} \).

Solusi:

Karena \( a \geq b \) dan \( x \leq y \) maka \( (a - b)(y - x) \geq 0 \).

Jadi, \( \dfrac{a+b}{2} \cdot \dfrac{x+y}{2} - \dfrac{ax+by}{2} \geq 0 \).

Tanda kesamaan terjadi jika \( a = b \) atau \( x = y \).

Terbukti bahwa \( \dfrac{ax+by}{2} \leq \dfrac{a+b}{2} \cdot \dfrac{x+y}{2} \).

B. Kuadrat Sebarang Bilangan Real Selalu Tak Negatif

Sebagaimana kita ketahui bahwa kuadrat dari suatu bilangan real tidak mungkin negatif. Konsep ini penting untuk menyelesaikan suatu persoalan.

Jika \( a \) sebarang bilangan real maka \( a^2 \geq 0 \). Tanda kesamaan terjadi hanya jika \( a = 0 \).

Contoh 81:

Buktikan bahwa \( a^2 + b^2 \geq 2ab \) untuk bilangan real \( a \) dan \( b \). Kapan tanda kesamaan terjadi?

Solusi:

Karena bilangan kuadrat tidak mungkin negatif maka:

\( (a - b)^2 \geq 0 \)

Tanda kesamaan terjadi jika \( a = b \)

\( a^2 + b^2 - 2ab \geq 0 \)

\( a^2 + b^2 \geq 2ab \) (terbukti)

Contoh 82:

Diketahui \( a, b, c > 0 \) serta \( a + b + c = 2 \). Buktikan bahwa \( ab + bc \) tidak lebih dari 1.

Solusi:

\( ab + bc = b(a + c) = b(2 - b) \)

\( ab + bc = 1 - (b - 1)^2 \)

Karena bilangan kuadrat tidak mungkin negatif maka \( ab + bc \leq 1 \) dengan tanda kesamaan terjadi jika \( b = 1 \).

Jadi, terbukti bahwa \( ab + bc \) tidak lebih dari 1.

Contoh 83: (AHSME 1997)

Jika \( x, y \) dan \( z \) adalah bilangan real yang memenuhi \( (x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - 5)^2 = 0 \) maka nilai dari \( x + y + z \) adalah

Solusi:

Karena bilangan kuadrat tidak mungkin negatif maka penyelesaian \( (x - 3)^2 + (y - 4)^2 + (z - 5)^2 = 0 \) hanya didapat jika:

\( x - 3 = 0 \), \( y - 4 = 0 \) dan \( z - 5 = 0 \).

Maka, penyelesaian \( (x, y, z) \) yang memenuhi adalah \( x = 3 \), \( y = 4 \) dan \( z = 5 \).

Jadi, nilai dari \( x + y + z = 3 + 4 + 5 = 12 \).

C. Ketaksamaan Rataan Kuadrat (QM), Rataan Aritmatik (AM), Rataan Geometri (GM) dan Rataan Harmonik (HM)

Perlu dijelaskan terlebih dahulu pengertian masing-masing rataan.

Misalkan \( x_1, x_2, x_3, \cdots, x_n \) adalah bilangan real positif.

Rataan Kuadrat (QM) \( = \sqrt{\dfrac{x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + \cdots + x_n^2}{n}} \)

Rataan Aritmatik (AM) \( = \dfrac{x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n}{n} \)

Rataan Geometri (GM) \( = \sqrt[n]{x_1 x_2 x_3 \cdots x_n} \)

Rataan Harmonik (HM) \( = \dfrac{n}{\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \dfrac{1}{x_3} + \cdots + \dfrac{1}{x_n}} \)

Hubungan antara QM, AM, GM dan HM adalah:

\[ QM \geq AM \geq GM \geq HM \]

Tanda kesamaan terjadi jika \( x_1 = x_2 = x_3 = \cdots = x_n \)

Contoh 84:

Hitunglah QM, AM, GM dan HM dari bilangan-bilangan 2, 3 dan 7.

Solusi:

\[ QM = \sqrt{\dfrac{2^2 + 3^2 + 7^2}{3}} = \sqrt{\dfrac{4 + 9 + 49}{3}} = \sqrt{\dfrac{62}{3}} \]

\[ AM = \dfrac{2 + 3 + 7}{3} = \dfrac{12}{3} = 4 \]

\[ GM = \sqrt[3]{2 \cdot 3 \cdot 7} = \sqrt[3]{42} \]

\[ HM = \dfrac{3}{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{7}} = \dfrac{3}{\dfrac{21 + 14 + 6}{42}} = \dfrac{3}{\dfrac{41}{42}} = \dfrac{126}{41} \]

Contoh 85:

Buktikan bahwa \( a^2 + b^2 \geq 2ab \) untuk bilangan real positif \( a \) dan \( b \).

Solusi:

Dengan memanfaatkan ketaksamaan AM-GM didapat:

\[ \dfrac{a^2 + b^2}{2} \geq \sqrt{a^2b^2} = ab \]

Tanda kesamaan terjadi jika \( a^2 = b^2 \) sehingga \( a = b \).

\( a^2 + b^2 \geq 2ab \) (terbukti)

Contoh 86:

Tentukan nilai minimal dari \( \dfrac{x}{2y} + \dfrac{y}{4z} + \dfrac{z}{8x} \) dan kapan nilai terkecil itu terjadi?

Solusi:

Berdasarkan ketaksamaan AM-GM maka:

\[ \dfrac{x}{2y} + \dfrac{y}{4z} + \dfrac{z}{8x} \geq 3 \cdot \sqrt[3]{\dfrac{x}{2y} \cdot \dfrac{y}{4z} \cdot \dfrac{z}{8x}} = 3 \cdot \sqrt[3]{\dfrac{1}{64}} = \dfrac{3}{4} \]

Jadi, nilai minimal dari \( \dfrac{x}{2y} + \dfrac{y}{4z} + \dfrac{z}{8x} \) adalah \( \dfrac{3}{4} \).

Tanda kesamaan terjadi jika \( \dfrac{x}{2y} = \dfrac{y}{4z} = \dfrac{z}{8x} \).

Misalkan \( \dfrac{x}{2y} = \dfrac{y}{4z} = \dfrac{z}{8x} = k \) maka:

\[ k^3 = \dfrac{x}{2y} \cdot \dfrac{y}{4z} \cdot \dfrac{z}{8x} = \dfrac{1}{64} \]

\[ k = \dfrac{1}{4} \]

Jadi, \( \dfrac{x}{2y} = \dfrac{1}{4} \) sehingga \( y = 2x \)

\( \dfrac{z}{8x} = \dfrac{1}{4} \) sehingga \( z = 2x \)

Jadi, tanda kesamaan terjadi jika \( y = z = 2x \)

Maka nilai minimal dari \( \dfrac{x}{2y} + \dfrac{y}{4z} + \dfrac{z}{8x} \) adalah \( \dfrac{3}{4} \) yang terjadi jika \( y = z = 2x \).

Contoh 87:

Untuk \( a, b \) dan \( c \) bilangan positif, buktikan ketaksamaan \( (a + b)(b + c)(c + a) \geq 8abc \).

Solusi:

Berdasarkan ketaksamaan \( AM \geq GM \) maka:

\[ \dfrac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab} \implies a + b \geq 2\sqrt{ab} \]

\[ \dfrac{a+c}{2} \geq \sqrt{ac} \implies a + c \geq 2\sqrt{ac} \]

\[ \dfrac{b+c}{2} \geq \sqrt{bc} \implies b + c \geq 2\sqrt{bc} \]

Tanda kesamaan terjadi jika \( a = b = c \).

\[ (a + b)(a + c)(b + c) \geq 2\sqrt{ab} \cdot 2\sqrt{ac} \cdot 2\sqrt{bc} \]

\[ (a + b)(b + c)(c + a) \geq 8abc \] (terbukti)

Contoh 88:

Buktikan bahwa untuk \( x, y, z \) positif maka \( x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + xz + yz \) dan kapan tanda kesamaan terjadi.

Solusi:

Berdasarkan ketaksamaan AM-GM maka:

\( x^2 + y^2 \geq 2xy \)

\( x^2 + z^2 \geq 2xz \)

\( y^2 + z^2 \geq 2yz \)

Tanda kesamaan terjadi jika \( x = y = z \)

Jumlahkan ketiga persamaan didapat:

\( 2x^2 + 2y^2 + 2z^2 \geq 2xy + 2xz + 2yz \)

\( x^2 + y^2 + z^2 \geq xy + xz + yz \) (terbukti)

Contoh 89: (OSP 2009/AIME 1983)

Tentukan nilai minimal dari \( \dfrac{9x^2 \sin^2 x+4}{x \sin x} \) untuk \( 0 < x < \pi \).

Solusi:

\[ \dfrac{9x^2 \sin^2 x+4}{x \sin x} = 9x \sin x + \dfrac{4}{x \sin x} \]

Berdasarkan ketaksamaan AM-GM maka:

\[ 9x \sin x + \dfrac{4}{x \sin x} \geq 2\sqrt{9x \sin x \cdot \dfrac{4}{x \sin x}} = 2\sqrt{36} = 12 \]

Maka nilai minimum dari \( \dfrac{9x^2 \sin^2 x+4}{x \sin x} \) sama dengan 12.

LATIHAN 7

  1. (OSK 2010) Bilangan bulat yang memenuhi pertidaksamaan \( x^4 \leq 8x^2 - 16 \) sebanyak …..
  2. (OSP 2004) Tentukan semua bilangan real \( x \) yang memenuhi \( x^2 < |2x - 8| \)
  3. (AIME 1987) Tentukan bilangan bulat terbesar \( n \) sehingga terdapat bilangan unik \( k \) yang memenuhi \( \dfrac{8}{15} < \dfrac{n}{n+k} < \dfrac{7}{13} \).
  4. (India RMO 1995) Tunjukkan bahwa untuk sembarang bilangan real \( x \) maka \[ x^2 \sin x + x \cos x + x^2 + \dfrac{1}{2} > 0 \]
  5. (OSP 2009) Banyaknya bilangan real \( x \) yang memenuhi persamaan \( x^4 - 2x^3 + 5x^2 - 176x + 2009 = 0 \) adalah ……
  6. Selesaikan persamaan berikut dalam bilangan real \[ \sqrt{x} + \sqrt{y} + 2\sqrt{z-2} + \sqrt{u} + \sqrt{v} = x + y + z + u + v \]
  7. (Baltic Way 2000) Tentukan semua bilangan real positif \( (x, y) \) yang memenuhi persamaan: \[ x + y - \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} + 4 = 2(\sqrt{2x-1} + \sqrt{2y-1}) \]
  8. Buktikan bahwa untuk bilangan real \( x \) maka \[ \dfrac{x^3-1}{3} \leq \dfrac{x^4-1}{4} \]
  9. (ME V2N4) Misalkan \( a, b \) dan \( c \) adalah bilangan positif yang memenuhi persamaan \( a^2 + b^2 - ab = c^2 \). Buktikan bahwa \( (a - c)(b - c) \leq 0 \)
  10. (Irish MO 1998) Tunjukkan bahwa jika \( x \) bilangan real tak nol maka: \[ x^8 - x^5 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^4} \geq 0 \]
  11. (OSP 2008) Diberikan \( f(x) = x^2 + 4 \). Misalkan \( x \) dan \( y \) adalah bilangan-bilangan real positif yang memenuhi \( f(xy) + f(y - x) = f(y + x) \). Nilai minimum dari \( x + y \) adalah ……
  12. Tentukan nilai terkecil dari \( f(x) \) jika \( f(x) = \dfrac{4x^2+8x+13}{6(1+x)} \) untuk \( x \geq 0 \). Tentukan juga \( x \) yang menyebabkan nilai minimum tersebut.
  13. Buktikan bahwa \[ \left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right) \left( \sum_{i=1}^{n} \dfrac{1}{a_i} \right) \geq n^2 \text{ untuk } a_i > 0. \]
  14. (OSP 2003) Buktikan bahwa \( 999! < 500^{999} \).
  15. Jika \( a \) dan \( b \) adalah bilangan real positif maka buktikan bahwa \[ \dfrac{1}{a} + \dfrac{4}{b} \geq \dfrac{9}{a+b} \] Kapan tanda kesamaan terjadi?
  16. (Austrian MO 2000 : Beginner Competition) Jika \( a \) dan \( b \) adalah bilangan real positif maka buktikan bahwa \[ \dfrac{(a+b)^3}{a^2b} \geq \dfrac{27}{4} \] Kapan tanda kesamaan terjadi?
  17. (Canadian MO 1971) Diketahui \( x \) dan \( y \) adalah bilangan real positif yang memenuhi \( x + y = 1 \). Buktikan bahwa \[ \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) \left( 1 + \dfrac{1}{y} \right) \geq 9 \]
  18. (OSP 2009) Bilangan rasional \( a < b < c \) membentuk barisan hitung (aritmatika) dan \[ \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} = 3 \] Banyaknya bilangan positif \( a \) yang memenuhi adalah ………
  19. \( x, y \) dan \( z \) adalah bilangan real yang memenuhi \( x + y + z = 1 \). Buktikan bahwa \( xy + yz + xz \leq \dfrac{1}{3} \).
  20. Misalkan \( x, y \) dan \( z \) adalah bilangan positif berbeda. Buktikan bahwa \[ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} > \dfrac{1}{\sqrt{xy}} + \dfrac{1}{\sqrt{xz}} + \dfrac{1}{\sqrt{yz}} \]
  21. (Hongkong PSC 1988) Jika \( a + b + c + d + e = 8 \) dan \( a^2 + b^2 + c^2 + d^2 + e^2 = 16 \) maka tentukan nilai maksimal dari \( e \).
  22. Diberikan persamaan \( x^4 + px^3 + qx^2 + rx + s = 0 \) yang mempunyai empat akar real positif. Buktikan bahwa: a) \( pr - 16s \geq 0 \) b) \( q^2 - 36s \geq 0 \) dengan tanda kesamaan terjadi bila keempat akarnya sama.
  23. Buktikan bahwa untuk \( a, b \) dan \( c \) bilangan real positif maka \[ \dfrac{2a}{b+c} + \dfrac{2b}{a+c} + \dfrac{2c}{a+b} \geq 3 \] Kapan tanda kesamaan terjadi?
  24. (Irish MO 1998) Tunjukkan bahwa jika \( a, b, c \) adalah bilangan real positif maka: (i) \( \dfrac{9}{a+b+c} \leq 2 \left( \dfrac{1}{a+b} + \dfrac{1}{b+c} + \dfrac{1}{c+a} \right) \) (ii) \( \dfrac{1}{a+b} + \dfrac{1}{b+c} + \dfrac{1}{c+a} \leq \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \right) \)
  25. Buktikan bahwa untuk bilangan real positif \( a, b \), dan \( c \) sebarang berlaku \[ \dfrac{a+b}{c^2} + \dfrac{b+c}{a^2} + \dfrac{c+a}{b^2} \geq 2 \left( \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c} \right) \]
  26. (Belarussian MO 1999) Jika \( a, b, c > 0 \) dan \( a^2 + b^2 + c^2 = 3 \) maka buktikan bahwa: \[ \dfrac{1}{1+ab} + \dfrac{1}{1+bc} + \dfrac{1}{1+ca} \geq \dfrac{3}{2} \]
  27. Misalkan \( a, b, c > 0 \) dan \( abc = 1 \). Tunjukkan bahwa \[ \dfrac{ab}{a^2+b^2+ab} + \dfrac{bc}{b^2+c^2+bc} + \dfrac{ca}{c^2+a^2+ca} \leq 1. \]